Question

【題目】如圖甲所示，在半徑為a的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應強度大小為B的均勻磁場，其方向平行于軸線遠離讀者。在圓柱空間中垂直軸線平面內固定放置一絕緣材料制成的邊長為的剛性等邊三角形框架DEF，其中心O位于圓柱的軸線上。DE邊上S點處有一發射帶電粒子的源，發射粒子的方向皆在圖中截面內且垂直于DE邊向下。發射粒子的電量皆為，質量皆為m，但速度v有各種不同的數值。若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時速度方向垂直于被碰的邊。試問：

(1)帶電粒子速度v的大小取哪些數值時可使S點發出的粒子最終又回到S點？

(2)這些粒子中，回到S點所用的最短時間是多少？

Answer 1

【答案】(1) ，n=4，5，6，… (2)

【解析】

帶電粒子（以下簡稱粒子）從S點垂直于DE邊以速度v射出后，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其圓心一定位于DE邊上，其半徑R可由求得

。 ①

(1)要求此粒子每次與的三條邊碰撞時都與邊垂直，且能回到S點，則R和v應滿足以下條件：

(ⅰ)與邊垂直的條件。

由于碰撞時速度v與邊垂直，粒子運動軌跡圓的圓心一定位于三角形的邊上，粒子繞過三角形頂點D、E、F時的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點（即D、E、F）上。粒子從S點開始向右做圓周運動，其軌跡為一系列半徑為R的半圓，在SE邊上最后一次的碰撞點與E點的距離應為R，所以的長度應是R的奇數倍。粒子從FD邊繞過D點轉回到S點時，情況類似，即的長度也應是軌道半徑的奇數倍。取，則當的長度被奇數除所得的R也滿足要求，即

。

因此為使粒子與三角形各達發生垂直碰撞，R必須滿足下面的條件：

，n=1，2，3，…。 ②

此時，n=1，2，3，…。

為的奇數倍的條件自然滿足。只要粒子繞過E點與EF邊相碰，由對稱關系可知，以后的碰撞都能與三角形的邊垂直。

（ⅱ）粒子能繞過頂點與三角形的邊相碰的條件。

由于磁場局限于半徑為a的圓柱范圍內，如果粒子在繞E點運動時圓軌跡與磁場邊界相交，它將在相交點處以此時的速度方向沿直線運動而不能返回。所以粒子做圓周運動的半徑R不能太大，由題圖見，必須（三角形的頂點沿圓柱半徑到磁場達界的距離時，粒子圓運動軌跡與圓柱磁場邊界相切），由給定的數據可算得

。 ③

將n=1，2，3，…，分別代入②式，得

，；

，；

，；

，。

由于，，，這些粒子在繞過三角形的頂點E時，將從磁場邊界逸出，只有的粒子能經多次碰撞繞過E、F、D點，最終回到S點。由此結論及①②兩式可得與之相應的速度為

，n=4，5，6，…。④

這就是由S點發出的粒子與三角形的三條邊垂直碰撞并最終又回到S點時，其速度大小必須滿足的條件。

(2)這些粒子在磁場中做圓周運動的周期為

。

將①式代入，得。 ⑤

可見在B及給定時T與v無關。粒子從S點出發最后回到S點的過程中，與三角形的達碰撞次數愈少，所經歷的時間就愈少，所以應取，如圖乙所示（圖中只畫出在邊框DE的碰撞情況），此時粒子的速度為，由圖可看出該粒子的軌跡包括個半圓和3個圓心角為300°的圓弧，所需時間為

。 ⑥

以⑤式代入得。 ⑦