Question

【題目】如圖所示，在彈性系數為的輕質彈簧下面懸掛一個質量為的盤，盤不動時，一個質量為的質點從高處自由下落，落到盤中時與盤發生完全非彈性碰撞.此后，盤（和質點）的振動將在豎直方向振動.試求：（1）這個振動的振幅；

（2）以質點碰撞盤為計時起點、向下為位移正方向，求解振動方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）與碰撞前，的速度大小為

.

設與碰撞后的共同速度為，由動量守恒有，

所以，.

由平衡條件易知，碰撞點在新的平衡點上方，即.

設系統振動的振幅為，由能量關系有

，

可求得振幅.

（2）系統做簡諧振動，其角頻率，建立平衡位置為原點且向下為正方向的坐標系，設其振動初位相為，則

，

.

將振動位移方程的初始條件

，，

代入，有

，

.

所以有，

即.

進而有

.

對于簡諧振動的分析與計算，初態的分析與計算是一個非常重要的節點，它在一定程度上決定了你對整個振動的描述正確與否.

對于初態的確定，其初位相的確定是最為復雜的，也是非常重要的，特別是在非完整的諧振中，相位的確定直接決定了解答能否進行.而相位的確定往往必須結合位移與速度進行綜合判斷，單一從速度與位移通常是難以確定的.

對相位的確定，既可從振動方程得到（如本題），也可利用參考圓進行確定，方法無所謂優劣，重在你處理時的謹慎與否.