Question

【題目】一個左右完全對稱的熟雞蛋的圓、尖兩端的曲率半徑分別為，且長軸的長度為，蛋圓的一端剛好可以在不光滑的水平面上穩定地平衡。證明蛋尖的一端可以在一個半球形的碗內穩定地直立，并求碗的半徑.

Answer 1

【答案】

【解析】

本題是受重力作用并在其他物體支持下的物體平衡，因此，可假想物體偏離平衡位置一個小角度后。由重心升降法確定平衡種類。

將蛋尖、蛋圓的曲率重心分別記為，由對稱性，雞蛋的重心必在的連線上。設重心離蛋圓底端距離為，如圖甲所示，現使蛋圓繞曲率重心偏過一微小角度，則中心位置的變化為

.

因為很小，所以，.

這樣有.

由題意有，則，

即共點.

如圖乙所示（為清晰，圖已夸大），再把半球形碗的球心記為，使蛋尖繞其曲率重心轉過一微小角度，蛋與碗的接觸點為，設與豎直線夾角為.

這時重心與蛋尖底的距離為，由數學知識易知，三點共線，（但連線不一定豎直），且有.

這時重心位置的變化可表示為

.

仍用上面所述近似法則，并代入關系使，化簡得

.

又因為，則.

將代入，得.