Question

【題目】如圖所示，三個大小、材質完全相同的小行星，行星（a）上有一個從表面點到球心的很窄的、試驗用的、內壁光滑的礦井；行星（b）上有一個從表面點到球心作為直徑的球形空腔；行星（c）因某種原因被運走了半個行星，只剩下一個規則的半球體.

（1）在（a）（b）兩行星表面點處無初速地掉入一物體，試計算，在兩顆行星中，從落至球心所用的時間之比以及撞擊點的速度之比.

（2）在行星（c）上，若在原來球形小行星表面的重力加速度為，問：余下半球圓形表面中心位置的重力加速度為多大？

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）我們首先討論試驗井的情況.

設小行星的密度為，半徑為，小物體的質量為.當一個質點處于球體內部時，我們設想球體是由一個個均勻的球殼組成的，由于質量分布均勻的球殼對其內部質點的作用力為零，加之試驗井的體積可忽略不計，則不難理解，質點所受的引力為以其所在位置到球心的距離為半徑的球體對它的作用力（如圖乙所示）.所以，小物體在試驗井中下落的過程中所受到的引力大小為

.

因此，小物體在試驗井中下落的過程中所受到的引力與到小行星中心的距離成正比，并總是指向其球心的.所以，小物體在下落的過程中受到的平均力為

.

對小物體的下落過程應用動能定理可得

，

即.

由此可得從試驗井中落下的小物體撞擊球心的速度為

.

另一方面，由于小物體在下落過程中的受力滿足：，且總是指向地心的，因此小物體的運動是一簡諧運動，從開始下落到地心的時間為個周期，即

，

式中，

所以，.

下面我們來討論第二個事件發生的情況.此時小行星內部被開采了八分之一，當小物體從入口處落下時，將沿直線撞向球心，在這一過程中小物體的受力可這樣求得，設想將挖走部分重新填充，則小物體在下落的過程中受到的力為整個行星對它的引力與填充部分對它的引力之差，所以，當小物體距球心為時，距填充球的球心為，則小物體的受力為

.

顯然，在這種情況下，小物體在下落過程中所受到的力為恒力，與到球心的距離無關，即小物體在下落過程中做勻加速直線運動，其加速度為

，則

小物體的撞擊速度為.

小物體的下落時間為.

所以，這兩個小物體撞擊點的速度之比為

.

從點掉到點的時間之比為.

（2）先求.

由，即.

下面求半球體圓面中心處的.

把整個半球體分成個同心的、等厚的半球殼，每個半球殼的厚度為（），對于其中任意一個球殼，討論其對球心處引力場強的貢獻.

（i）與質量的關系：正比于球殼的質量，亦即正比于該球殼的半徑的平方（）；

（ii）與距離的關系：與距離的平方成反比，即.

由此可知，球殼對球心處的引力場與球殼的半徑無關，則這個等厚的球殼對球心點處的引力場強的貢獻是相等的.

所以，我們只需選出一個球殼作為代表，計算出它對球心點處的場強的貢獻，再乘上，即得到半球的球心處的引力場強；或者，將所選出的半球的質量乘以，再計算其對球心的引力場強的貢獻亦可.

我們選擇最外層的、半徑為的那個半球殼為代表，該球殼的質量為，則整個半球體對球心處的引力場強等效為質量、半徑為的球殼對其球心處產生的引力場強.

質量為的球殼對點處單位質量的質點的作用力等于處于點的單位質量的質點對半球殼的作用力，而這一作用力的大小通過壓強對半球體的作用情況進行類比可知，處在點處的單位質量的質點對半球體的作用力等于單位質量的質點對半球殼單位面積的作用力乘上.

所以，.

將與比較，易得.

本題是一道綜合程度極高的物理競賽試題.僅從本題解答過程中涉及的方法來看，我們不難看出，其解答涉及了基本的程序法、平均思想（求平均力）、割補法（在空腔中填充物質）、疊加法（球形空腔內的受力與運動）、微元（半球分割為球殼）、等效（個球均用最外的球殼替代）、建模與假設（在球心處設置單位質量的物體）、推理（作用力與無關的結論的得出）、類比（將球殼的受力與壓強的作用進行比較）等等，將這些方法集中在一道試題中進行應用，沒有足夠的能力，要順利地完成解答幾乎是不可能的.

在中學物理競賽的試題中，類似于上述情況的試題有很多，或同一問題可用多種方法求解，或某一解答可能需用到多種方法.很多情況下，雖然試題的背景、涉及的知識點各有不同，但可能涉及的方法卻是一致的.熟練地掌握了處理問題的各種方法，相信同學們處理問題時便會有事半功倍的效果.

但從另一方面講，本題中每個小間涉及的模型，在我們平時的訓練中也都出現過，我們也都能進行相關的處理，而將它們集中在一起，無疑增加了對象與過程，這是增加試題難度的基本形式，而我們的解答過程，實際上是一個拆解過程，將一道綜合題拆解成若干個小題，然后再將其“串”接起來，完成問題的解答.