Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數）,以為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程及直線的普通方程；

（2）將曲線上的所有點的橫坐標縮短為原來的,再將所得到曲線向左平移個單位，得到曲線,求曲線上的點到直線的距離的最小值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題（1）直線的參數方程兩式相減消參得到普通方程；曲線C的極坐標方程兩邊同時乘以，得到，根據極坐標與直角坐標的轉化，，，（2）根據點的伸縮變換公式和平移公式代入公式得到曲線，，設曲線的參數方程，代入點到直線的距離公式，利用三角函數的最值求距離的最小值．

試題解析：解：（1）曲線C的直角坐標方程為：

即：

直線的普通方程為5分

（2）將曲線C上的所有點的橫坐標縮為原來的，得，即

再將所得曲線向左平移1個單位，得：

又曲線的參數方程為（為參數），設曲線上任一點

則（其中）

點到直線的距離的最小值為。 12分