Question

【題目】一載有電流的導線彎成橢圓形，橢圓的方程為，，如圖所示，試求在橢圓中心產生的磁感強度

Answer 1

【答案】

【解析】

根據畢奧-薩伐爾定律，橢圓上的電流元在橢圓中心產生的磁感強度為

， ①

式中是電流元到的矢量，有

， ②

式中為垂直于紙面向外的單位矢量，由圖乙可見

． ③

將式②③代入式①便得

． ④

為了積分，換成用極坐標表示，以橢圓中心為極點，軸為極軸，如圖所示，便有

，． ⑤

代入橢圓方程得

， ⑥

得出． ⑦

代入式④得所求的磁感強度為

． ⑧

這個積分是一種橢圓積分，為了化成標準形式，作如下變換：

． ⑨

所以，

． ⑩

代入式⑧，并由是的以為周期的函數，便得

，

式中，是橢圓的離心率，

．

式中的積分叫作第二類全橢圓積分，其值為

于是得所求的磁感強度為

．

本題從練習功能上講，與上題有相似之處，特別是在積分技巧方面，肯定是需要中學生特別注意并加以訓練的．

既然競賽不再回避積分運算，那么二次函數的積分一定是競賽生需要掌握的內容，希望本章中的相關練習題對讀者有所幫助．