Question

【題目】設賽車道在同一水平面上，車輪與地面間的摩擦因數為，且不隨速度變化，問：

（1）當賽車運動員駕車做90°轉彎時，應選擇圖甲中的半徑為的圓弧外車道還是半徑為的圓弧內車道？

（2）做180°轉彎時，又應選擇圖乙中的哪個車道？

請作出必要的計算并據此得出結論。為簡化起見，可把賽車作質點處理，且設賽車在剎車減速時四輪同時剎車，并假設賽車在加速過程和減速過程中的加速度的絕對值相等，賽車在直道上高速行駛的速度（空氣阻力忽略不計）。

Answer 1

【答案】（1）應選擇外道行駛

（2）①當，應選擇內道；

②，應選擇外道；

③當，選擇內、外道均一樣

【解析】

1.先討論賽車沿圓弧運動的最大速度，

賽車圓弧運動時所需的向心力由摩擦力提供，與最大靜摩擦力相應的運動速度就是允許的最大速度. 如果速度再提高，所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力，因而賽車就不可能沿圓弧運動而將發生側向滑動，沿圓弧運動的最大速度-與圓半徑、摩擦因數有下列關系：，

即有. （*）

此即賽車沿圓弧運動的最大速度.

2.計算賽車沿直軌道加速行駛或減速行駛的加速度、所用時間及距離.

設賽車在直道上高速行駛時的速度為，在進入圓弧軌道前要將車速由降至（*）式中的速度. 剎車后，賽車在與地面問的摩擦力作用下減速，賽車的加速度為.

賽車自圓弧軌道終點處開始加速. 據題設，其加速度為.

賽車由增至后，以速度勻速行駛.

根據勻加速運動的公式，加速與減速過程所用的時間和行駛的距離分別為

，.

3.根據以上分析，我們可以比較沿內道賀沿外道所用時間的長短.

（1）90°轉彎時的情況，如圖乙所示.

內道和外道的半徑分別為和，沿圓弧軌道的最大速度和分別為，.

先討論賽車沿外道行駛時的情況.

如圖乙所示，賽車沿外道行駛時，為減速過程，由上面的分析可知.

為沿半徑為的圓周做勻速率圓周運動，則.

為加速過程，時間與相同.

為勻速（）運動，為賽車沿內道運動加速至速度為時的位置，所以，.

因而，賽車在全過程中所需時間為

.

賽車沿外道行駛時，減速過程和加速過程的距離和均為.

再討論賽車沿內道行駛時的情況.

如圖乙所示，賽車沿內道行駛時，為勻速（）過程；減速過程，為沿半徑為的圓周做勻速率（）圓周運動；為加速過程；類似于外道的時間計算可得所需時間為.

賽車沿內道行駛時減速過程和加速過程的距離和均為.

由幾何關系及、可得

，.

由上述兩式及前面的時間關系可得

，.

兩者之差為.

顯然，沿外道所用時間較少，應選擇外道行駛.

（2）180°轉彎時的情況（圖丙）

如圖丙所示，賽車沿外道行駛時，為減速過程；為勻速率（）圓周運動；為加速過程；賽車沿內道行駛時，為勻速（）過程；減速過程，為勻速率（）圓周運動. 根據前面得到的關系可求得：

賽車沿外道行駛所用時間為.

賽車沿內道行駛所用時間為.

而，故，

.

由上式可得以下結論：

①當，即時，，應選擇圖丙中的內道；

②，即時，，應選擇圖丙中的外道；

③當，即時，，選擇內、外道均一樣.