Question

【題目】空氣圓筒形電容器是兩個共軸薄壁金屬圓筒，如圖a所示．每個圓筒長為l，半徑分別為R和r，并且．電容器的電容為．如果兩個圓筒半徑增加一倍，而其長度減小到三分之一，求新電容器的電容．可以認為帶電筒形電容器兩極之間電場強度E與到軸距離x成反比例減小，即．

Answer 1

【答案】

【解析】

按定義，電容器的電容等于．為了求電容器的電容，需要使它“充電”任一電量q，且計算兩極之間產生的電勢差，按定義，有

式中W為在帶電電容器兩極之間移動檢驗電荷所做的功。

為了求功W，作出作用在檢驗電荷上電場力與距離x關系圖像，如圖b所示．

所求的功W為所有元功之和（圖上直角柱子的面積）且數值等于畫陰影的曲線梯形的面積．如果現在不改變電量，將R和r增加一倍，那么所做的功用面積表示，如圖（c）所示．不難設想，（當保持分割方法且元直角柱子的總數目不變，每個這樣的直角柱子沿x軸延長一倍且沿F軸縮短一半）．由此可見，當同時改變R和r同樣倍數時，圓筒形電容器的電容不變。

電容器長度變化導致電容成比例地變化，因為這時在兩極之間距離不變的情況下兩極的面積發生變化．

因此，半徑R和r增加一倍不改變電容器的電容，而長度l減小到三分之一，導致它的電容也減小到三分之一，即．