Question

【題目】如圖所示，正方形均質板重，用4根輕質桿鉸鏈水平懸掛，外形構成邊長為的立方體，現將方板繞鉛垂對稱軸旋轉角度，再用一細繩圍繞四桿的中點捆住，使板平衡于角位置。試求繩內的張力.

Answer 1

【答案】

【解析】

把木板繞鉛垂對稱軸旋轉角度以后，系統雖然不是一個很對稱的立方體，但把系統繞通過中心的鉛直軸旋轉90°的整數倍，系統的位形將與轉動之初的位形重合，說明四根輕桿的受力情況是完全一樣的，系統是對稱的. 系統處于平衡狀態時，把四根輕桿、木板、繩組成的部分看成剛體，剛剛體受四個鉸接部分的力二平衡，由重力方向的平衡可以得出，豎直方向對每根輕桿的拉力為

. ①

而鉸接處是否對輕桿有水平方向的作用力，暫時還不好確定，不過可以設為，從俯視圖來看四根輕桿的受力情況（如圖乙所示）.

圖中虛線表示正方形對角線的外延部分，如果不在對角線方向上，則四個對點有一個力偶矩，將使得下面的部分旋轉，與平衡假設相矛盾，因此水平彈力必然在對角線方向，要么都向外，要么都向里（設向外為正，這種設法不會影響結果）.

同樣的道理，把木板隔離開來，可知木板對輕桿往下的拉力為

. ②

而水平方向的作用力必沿對角線方向（否則木板旋轉），木板對桿的作用力向里、向外的性質與上端鉸鏈的方向相同，否則以繩對桿的作用點為支點，力矩無法平衡.

下面再看整個系統的俯視圖（如圖丙所示），把輕桿隔離出來作為平衡的剛性桿，利用力的平衡條件和力矩的平衡條件可求出拉力的大小.

繩作用在每根轉桿的中點，在俯視圖上不難看出，繩子構成一個正方形，且在水平面內，因而可以知道繩對輕桿僅有水平面內的拉力，輕桿在豎直方向上力的平衡是滿足的，則

. ③

取一根輕桿為研究對象，不難求出與的關系，以及與的關系. 設繩的張力為，則水平合力.

方向水平力平衡，有

； ④

方向水平力平衡，有

. ⑤

在過輕桿的豎直面內來分析力矩平衡（只研究平面內轉矩），如圖丁所示.

對于點，力矩平衡，有

. ⑥

聯合②④⑤⑥式可得.

初看此題，一般都會覺得比較復雜，因為題中鉸鏈就看8個，加上4根輕質桿與繩子有4個接觸點，一共有12個受力點，而且，初看甚至想象不出木板旋轉角度以后整個系統是什么樣子，即使把各個受力點的力逐個畫出來也無濟于事.

對于這種復雜的系統，如同本題一樣，對稱分析（等價）往往是解決問題的突破口，找出最基本的部分，再把空間方向確定下來，然后畫出各個力點的受力情況，再依據規律求解.

另外，對于復雜的靜平衡問題，運用虛功原理也是一種有效的手段. 本題亦可通過虛功原理求解，但這同樣面臨著空間幾何問題方面的障礙.