Question

【題目】各邊長為a的正五邊形的五個頂點各有一個質點，分別為、、、和，如圖所示。今使質點始終對準質點運動，始終對準運動，始終對準運動，始終對準運動，始終對準運動，運動速率均為相同的u。試問：經多長時間t，五個質點相聚？

Answer 1

【答案】

【解析】

方法1：各邊長為a的正五邊形的五個頂點處各有一個質點,分別為、、、和,如圖所示。今使質點始終對準質點運動,始終對準運動,始終對準運動,始終對準運動,始終對準運動,運動速率均為相同的u.試問:經多長時間t，五個質點相聚？

方法2：本題的解法有很多,此處僅提供下面的解答。

由對稱性知,質點的最終相遇點必在正五邊形的中心點O,如圖所示。

開始時質點到O點的距離為。

由質點的運動特征易知,任何時候,質點指向O點的運動速度為。

所以,質點相遇的總時間為。

與本題類似的追逐問題在各類競賽資料中有很多,基本都是三體相互追逐的翻版,其處理方法也有很多種,核心是相對運動的速度與對應的路程的求解.如通過速度的分解求出兩相鄰的質點間的接近速度,亦易得到相遇的時間;抑或通過微元過程來分析相互接近的速度等。

本題還有一個非常有意思的延伸問題:任一質點在到達O點之前,繞O點轉過的圈數是多少?有興趣的同學不妨試著解答一下。