Question

設a、b、x、y∈R⁺,a、b為常數,且=1,求x+y的最小值.

Answer 1

錯解：∵x+y=(x+y)·,∴(x+y)_min=.

錯因分析:x+y≥中等號成立的條件是x=y,≥中等號成立的條件是,而=1,∴x=2a,y=2b.此時a不一定等于b,故上述解法有誤.

正解一:(消元法)∵=1,∴y=且x＞a.

∴x+y=x+=x+=x+b+=x-a++a+b≥+a+b=(+)².

正解二:(妙用“1”)x+y=(x+y)()=a++b≥a+b+=(+)².

正解三:(三角代換)令=cos²θ,=sin²θ,則x+y=asec²θ+bcsc²θ=a(1+tan²θ)+b(1+cot²θ)

=a+b+atan²θ+bcot²θ≥a+b+=()².

上述三種解法均可得出當且僅當x=+a,y=+b時取等號,故(x+y)_min=()².