精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2004•朝陽區一模)已知動雙曲線的右頂點在拋物線y2=x-1上,實軸長為定值4,右準線恰為y軸.
(Ⅰ)求動雙曲線中心的軌跡方程;
(Ⅱ)求虛半軸長的取值范圍.
分析:(I)設設雙曲線的中心為M(x,y),由于右準線為y軸,故x<0.再根據實軸長為4,得雙曲線的右頂點為(x+2,y).由題意知點(x+2,y)在拋物線y2=x-1上,由此能求出動雙曲線中心的軌跡方程.
(Ⅱ)先設雙曲線方程為
(x-x0)2
a2
-
(y-y0)2
b2
=1(a>0,b>0)
.可得右準線為x=x0+
a2
c
.而右準線方程為x=0,從而有x0=-
a2
c
=-
4
4+b2
.由(Ⅰ)知
y
2
0
=x0+1
,故
y
2
0
=-
4
4+b2
+1≥0
.由此建立關于b的不等關系即可求出虛半軸長的取值范圍.
解答:解:(Ⅰ):設雙曲線的中心為(x,y),由于右準線為y軸,故x<0.
∵實軸長為4,故a=2.
∴雙曲線的右頂點為(x+2,y).
由題意知點(x+2,y)在拋物線y2=x-1上,
∴y2=(x+2)-1=x+1.
∴雙曲線中心的軌跡方程為y2=x+1(-1≤x<0).…(6分)
(Ⅱ):設雙曲線方程為
(x-x0)2
a2
-
(y-y0)2
b2
=1(a>0,b>0)

∵a=2,故c=
a2+b2

x-x0=
a2
c
,得右準線為x=x0+
a2
c

而右準線方程為x=0,
x0+
a2
c
=0

x0=-
a2
c
=-
4
4+b2

由(Ⅰ)知
y
2
0
=x0+1
,
y
2
0
=-
4
4+b2
+1≥0

化簡得b2≥12,故b≥2
3

∴虛半軸長的取值范圍是[2
3
,+∞)
.…(14分)
點評:本題主要考查拋物線標準方程,雙曲線的簡單幾何性質等基礎知識.考查運算求解能力,推理論證能力,考查化歸與轉化思想.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2004•朝陽區一模)設a=
1
2
cos6°-
3
2
sin6°
,b=
2tan13°
1-tan213°
,c=
1+cos50°
2
,則有( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2004•朝陽區一模)若三棱錐S-ABC的頂點S在底面上的射影H在△ABC的內部,且是△ABC的垂心,則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2004•朝陽區一模)已知圖中曲線C1、C2、C3、C4是函數logax的圖象,則曲線C1、C2、C3、C4對應的a的值依次為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2004•朝陽區一模)過雙曲線(x-2)2-
y2
2
=1
的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點,如果|AB|=4,則這樣的直線的條數為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2004•朝陽區一模)山坡與水平面成30°角,坡面上有一條與山底坡腳的水平線成30°角的直線小路,某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米,則此人行走的路程為(  )

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
久久精品免费一区二区视