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已知定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)=
x2+2,x∈[0,1)
2-x2,x∈[-1,0)
且f(x+2)=f(x),g(x)=
2x+5
x+2
,則方程f(x)=g(x)在區間[-8,3]上的所有實根之和為
-12
-12
分析:利用函數的周期性和對稱性,結合圖象可得方程的根.
解答:解:由f(x+2)=f(x),知f(x)是周期為2的周期函數.
分別作出函數y=f(x)與y=g(x)的圖象,如圖所示.
這兩個函數的圖象關于點P(2,-2)中心對稱,故它們的交點也關于點P(2,-2)中心對稱,
從而方程f(x)=g(x)在區間[-8,3]上的所有6個實根也是兩兩成對地關于點P(2,-2)中心對稱,
則方程f(x)=g(x)在區間[-8,3]上的所有實根之和為3×(-4)=-12.
故答案為:-12.
點評:本題主要考查根的存在性及根的個數判斷,函數的周期性以及對稱性的綜合應用,綜合性比較強.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數,
則下列不等式中正確的是( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數f(x)是偶函數,對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當f(-3)=-2時,f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知定義在R上的函數f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數y=f(x+1)的圖象關于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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