設f(x)是定義在[0,1]上的函數,若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x*]上單調遞增,在[x*,1]上單調遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數,x*為峰點,包含峰點的區間為含峰區間.對任意的[0,1]上的單峰函數f(x),下面研究縮短其含峰區間長度的方法.
(I)證明:對任意的

∈(O,1),

,若f(

)≥f(

),則(0,

)為含峰區間:若f(

)

f(

),則

為含峰區間:
(II)對給定的r(0<r<0.5),證明:存在

∈(0,1),滿足

,使得由(I)所確定的含峰區間的長度不大于0.5+r:
(III)選取

∈(O,1),,由(I)可確定含峰區間為

或

,在所得的含峰區間內選取

,由

與

或

與

類似地可確定一個新的含峰區間,在第一次確定的含峰區間為(0,

)的情況下,試確定的值

,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02,且使得新的含峰區間的長度縮短到0. 34(區間長度等于區間的右端點與左端點之差)