Question

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點為F（1,0），且點P在橢圓C上，O為坐標原點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設過定點T（0,2）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）＋＝1（2）∪

【解析】

（1）由c＝1得a2＝b2＋1，再代入P點坐標可求得a,b；

（2）設直線l的方程為y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），直線方程與橢圓方程聯立消元得的一元二次方程，其判別式需大于0，由韋達定理得，條件∠AOB為銳角對應，代入后可求得的范圍．

（1）由題意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①

又點P在橢圓C上，所以＋＝1，②

由①②可解得a2＝4，b2＝3，

所以橢圓C的標準方程為＋＝1.

（2）設直線l的方程為y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2＋3）x2＋16kx＋4＝0，

因為Δ＝16（12k2－3）＞0，所以k2＞，則x1＋x2＝，x1x2＝.

因為∠AOB為銳角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）＞0，

所以（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＞0，即（1＋k2）·＋2k·＋4＞0，

解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.

所以直線l的斜率k的取值范圍為∪