Question

如圖：在多面體中，，,

，。

（1）求證：;

(2)求證：；

（3）求二面角的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析(2) 見解析（3）

【解析】本試題主要是考查了線面垂直和線面平行的判定定理的運用，以及二面角大小的求解的綜合運用。

(1)yw由于所以，

則又，則是解題的關鍵

(2) 取的中點，連結

由條件知，，

∴四邊形和為平行四邊形，

∴，，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

然后得到結論。

(2)建立空間直角坐標系，然求解平面的法向量的坐標，結合向量的數量積的性質得到夾角的值。

證明：（Ⅰ）由于所以，

則又，則，

所以又，則

（Ⅱ）取的中點，連結

由條件知，，

∴四邊形和為平行四邊形，

∴，，∴，

∴四邊形為平行四邊形，∴

∴平面平面，則平面。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知兩兩垂直，如圖建系，

設，則，，

，

設平面的法向量為，則由，得，取，則故，

而平面的法向量為，則

所以二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為