精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

函數的定義域關于原點對稱，但不包括數0，對定義域中的任意實數，在定義域中存在使，，且滿足以下3個條件。

（1）是定義域中的數，，則

（2），（是一個正的常數）

（3）當時，。

證明：（1）是奇函數；

（2）是周期函數，并求出其周期；

（3）在內為減函數。

 

 

【答案】

 

證：（1）對定義域中的，由題設知在定義域中存在

使，，

則

∴為奇函數

（2）因，∴，于是

若，則

若，則

仍有。

∴為周期函數，是它的一個周期。

（3）先證在內為減函數，事實上，設，

則，則

（當時，）。

所以

當時，

，于是

即在內，也是減函數，從而命題得證。

 

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：
①x1、x2、x1-x2是定義域中的數時，有f(x1-x2)=
f(x1)f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x1-x2）與f（x2-x1）之間的關系，并推斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（0，2a）上的單調性，并證明；
（3）當函數f（x）的定義域為（-4a，0）∪（0，4a）時，
 ①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：設計必修一數學(人教A版) 人教A版 題型：022

由于任意x和－x均要在定義域內，故奇函數或偶函數的定義域一定關于________對稱．所以，我們在判定函數的奇偶性時，首先要確定函數的定義域(函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．如果其定義域關于原點不對稱，那么它沒有奇偶性)．然后再判斷________與________的關系，從而確定其奇偶性．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2015屆河南省高一第一次階段數學試卷（奧賽班）（解析版） 題型：解答題

已知函數的定義域關于原點對稱，且滿足以下三個條件：

①、是定義域中的數時，有；

②是定義域中的一個數）；

③當時，．

（1）判斷與之間的關系，并推斷函數的奇偶性；

（2）判斷函數在上的單調性，并證明；

（3）當函數的定義域為時，

①求的值；②求不等式的解集．

 

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2014屆北京師大附中高一上學期期末考試數學試卷 題型：解答題

函數的定義域關于原點對稱，但不包括數0，對定義域中的任意實數，在定義域中存在使，，且滿足以下3個條件。

（1）是定義域中的數，，則

（2），（是一個正的常數）

（3）當時，。

證明：（1）是奇函數；

（2）是周期函數，并求出其周期；

（3）在內為減函數。

 

 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案
久久精品免费一区二区视