Question

某種新藥服用x小時后血液中的殘留量為y毫克，如圖為函數y=f（x）的圖象，當血液中藥物殘留量不小于240毫克時，治療有效．
（I）求函數y=f（x）的解析式；
（II）設某人上午8：00第一次服藥，為保證療效，試分別計算出第二次、第三次服藥的時間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖象分段設出一次函數模型，分別代入點（4，320）和（20，0）求解函數解析式；
（Ⅱ）設x為第一次服藥后經過的時間，由第一次服藥的殘留量大于等于240求解x的范圍，同樣由第二次服藥的殘留量大于等于240求解第二次的藥效時間，再由前兩次的服藥殘留量大于240求解第三次的服藥時間．

解答：解：（I）由圖象可知：
當x∈[0，4]時，設y=kx．
把（4，320）代入，得k=80，∴y=80x．
當x∈[4，320]時，設y=kx+b．
把（4，20），（20，0）代入得

4k+b=320 20k+b=20

，解得

k=-20 b=400

．
∴y=400-20x．
∴f(x)=

80x，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

（II）設x為第一次服藥后經過的時間，
則第一次服藥的殘留量y1=f(x)=

80x，0≤x≤4 400-20x，4＜x≤20.

由y₁≥240，得

0≤x≤4 80x≥240

或

4＜x≤20 400-20x≥240

解得3≤x≤4或4＜x≤8，∴3≤x≤8．
故第二次服藥應在第一次服藥8小時后，即當日16：00．
設第二次服藥產生的殘留量為y₂，
則y2=f(x-8)=

80(x-8)，8≤x≤12 400-20(x-8)，12＜x≤28.

由y₂≥240，得

8≤x≤12 80(x-8)≥120

或

12＜x≤28 400-20(x-8)≥240

解得11≤x≤12或12＜x≤16，∴11≤x≤16．
若僅考慮第二次服藥的殘留量，第三次服藥應在第一次服藥16小時后，而前兩次服藥的殘留量為
y₁+y₂，由

x＞16 y1+y2≥240

得

x＞16 400-20x+400-20(x-8)≥240

，解得16＜x≤18．
故第三次服藥應在第一次服藥18小時后，即次日凌晨2：00．

點評：本題考查了函數模型的選擇及應用，考查了分段函數涉及的不等式的解法，解答此題的關鍵是對題意的理解與把握，考查了計算能力，是中檔題．