Question

在直角坐標系xOy中，設動點P到直線

3

y-4=0的距離為d₁，到點（0，

3

）的距離為d₂，且d1：d2=2：

3

．又設點P的軌跡為C，直線l：y=kx+1與C交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出軌跡C的方程；
（Ⅱ）若

OA

⊥

OB

，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，試問：當k＞0時，是否恒有|

OA

|＞|

OB

|？

Answer 1

分析：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，

3

）為焦點，以直線

3

y-4=0為準線的橢圓．由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）由

x2+ x2 4 =1  y=kx+1

，得（k²+4）x²+2kx-3=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-(x22+y22)=

6k(x1-x2)

k2+4

．因為A在第一象限，故x₁＞0．由x1x2=-

3

k2+4

，知x₂＜0，由此計k＞0時，|

OA

| ＞|

OB

|．

解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，

3

）為焦點，以直線

3

y-4=0為準線的橢圓．
由

c= 3 a2 c = 4 3 c a = 3 2

得c=

3

，a=2，故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．…（4分）
（Ⅱ）由

x2+ x2 4 =1  y=kx+1

，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

．
若

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化簡得-4k²+1=0，
所以k=±

1

2

．…．（8分）
（Ⅲ）|

OA

|2-|

OB

|2=x12+y12-(x22+y22)
=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=

6k(x1-x2)

k2+4

．
因為A在第一象限，故x₁＞0．
由x1x2=-

3

k2+4

，知x₂＜0，
從而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故|

OA

| 2-| 

OB

|2＞0，
即在題設條件下，恒有|

OA

| ＞|

OB

|．…（12分）

點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．