Question

【題目】已知橢圓的長軸為，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，若點為橢圓上一動點（不同于點、）直線.設直線的方程為，直線與直線、、分別交于、、三點，試問：是否存在實數，使得恒成立？若存在，請求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）根據長軸長和橢圓上的點的坐標求解標準方程；

（2）求出E，M，F的坐標，根據建立等量關系分析定值.

（1）因為長軸為，故

將代入方程

所以橢圓的標準方程為

（2）①當點為時，：，：，：分別與直線求交點橫坐標，，，若滿足條件，則

解得；同理，若點為時，也解得

②當點橫坐標不為±2，直線：與聯立，解得

直線：與聯立，解得

直線：與聯立，解得

（注：因為直線與直線、、都相交，所以以上分母不為0）

若有，則

（因為點、、在直線上，所以當時，必有

，滿足）

故只需驗證

，（*）

（若恒成立，取特殊點代入也滿足，得

，若沒有①，此時特殊化得扣2分）

將代入（*）式驗證是否恒成立即可

又因為代入上式，得

，

即存在，使得（*）式恒成立.