Question

【題目】已知圓，點，點是圓上任意一點，線段的中垂線與交于點.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程.

（Ⅱ）斜率不為0的動直線過點且與軌跡交于，兩點，為坐標原點.是否存在常數，使得為定值？若存在，求出這個定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

（1）化圓的一般方程為標準方程，求出圓心和半徑，結合已知可得點的軌跡是以，為焦點，且長軸長為的橢圓，進而求出b，a,即可求得答案

（2）聯立直線方程和橢圓方程，求出和的表達式，然后結合題意中為定值計算出結果

（Ⅰ）由，得，

所以，半徑為4.

因為線段的中垂線與交于點，所以，

所以.

所以點的軌跡是以，為焦點，且長軸長為的橢圓，

所以.

所以點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設直線，，.

聯立化簡整理得，

所以，.

因為 ，

，

所以

.

當，即時，取定值.