Question

【題目】函數，其中.

（1）求函數的單調區間；

（2）已知當（其中是自然對數）時，在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍；

（3）求證：當時，對任意， ，有.

Answer 1

【答案】(1) 遞增區間為和，遞減區間為．(2) ；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）易知的定義域為，再求導由 得： 或 ，討論兩根和定義域的關系，由導數的正負求單調區間即可；

（2）題中條件等價于當時， ，進而求即可；

（3）構造輔助函數，并求導得，當時， ， 為減函數，有，變形即可證得.

試題解析：

（1）易知的定義域為．

．

由 得： 或 ．

∵，∴．

∴時， 為增函數；

時， 為減函數；

時， 為增函數，

∴函數的遞增區間為和，

遞減區間為．

（2）在上至少存在一點，使成立，

等價于當時， ．

∵，∴．

由（Ⅰ）知， 時， 為增函數， 時， 為減函數．

∴在時， ．

∴．

檢驗，上式滿足，所以是所求范圍．

（3）當時，函數．構造輔助函數，

并求導得．

顯然當時， ， 為減函數．

∴ 對任意，都有成立，即．

即．

又∵，

∴．