Question

過拋物線y²=4x的焦點F作直線l與拋物線交于A、B.

(1)求證:△AOB不是直角三角形;

(2)當l的斜率為時,拋物線上是否存在點C,使△ABC為直角三角形且B為直角(點B位于x軸下方)?若存在,求出所有的點C;若不存在,說明理由.

Answer 1

解:(1)證明:∵焦點F為(1,0),過點F且與拋物線交于點A、B的所有直線可設為ky=x-1,代入拋物線y²=4x得y²-4ky-4=0,則有y_Ay_B=-4,

進而x_Ax_B=·=1.

又|OA|·|OB|cos∠AOB=·=x_ax_b+y_ay_b=1-4=-3＜0,

得∠AOB為鈍角,故△AOB不是直角三角形.

(2)由題意得AB的方程為x-2y-1=0,代入拋物線y²=4x,

求得A(9+4,4+2),B(9-4,4-2),

假設拋物線上存在點C(t²,2t),使△ABC為直角三角形且C為直角,

此時,以AC為直徑的圓的方程為(x-x_a)(x-x_c)+(y-y_a)(y-y_c)=0,將A、B、C三點的坐標代入得(-8)(9-4-t²)+(-4)(4-2-2t)=0,

整理得t²+t-(11-5)=0,

解得t₁=2-對應點B,t₂=-3+對應點C,

則存在C(14-6,-6+2)使△ABC為直角三角形.

故滿足條件的點C有一個:C(14-6,-6+2).