Question

過P（0，1）的直線與圓C：x²+y²-2x-3=0相交A，B兩點，則△ABC面積最大時的直線AB的方程是

 

．

Answer 1

分析：將圓方程變形為標準形式，找出圓心C坐標與半徑r，分兩種情況：當直線AB斜率不存在時，求出此時三角形ABC面積；當直線AB斜率存在時，設為k，表示出直線AB方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心C到直線AB的距離d，利用垂徑定理表示出弦長，利用三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求出面積最大時d的值，確定出k的值，即可求出此時直線AB的方程，綜上，即可得到△ABC面積最大時的直線AB的方程．

解答：解：將圓方程變形得：（x-1）²+y²=4，即圓心C（1，0），半徑r=2，
當直線AB的斜率不存在時，△ABC面積為

3

，此時直線AB方程為x=0；
當直線AB斜率存在時，設為k，直線AB方程為y-1=kx，即kx-y+1=0，
圓心C到直線AB的距離d=

|k+1|

k2+1

，線段|AB|=2

r2-d2

=2

4-d2

，
∴S_△ABC=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×2

4-d2

×d=

d2(4-d2)

≤

d2+4-d2

2

=2，
當且僅當d²=4-d²時取等號，即d=

|k+1|

k2+1

=

2

，解得：k=1，
綜上，三角形面積最大值為2，△ABC面積最大時的直線AB的方程是x-y+1=0．
故答案為：x-y+1=0

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線的一般式方程，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，基本不等式的應用，是一道綜合性較強的試題，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．