Question

已知函數f(x)=(

1

2

)|x|．
（1）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（2）作f（x）的圖象，并根據圖象指出其單調區間；
（3）若函數g(x)=(

1

2

)|x-2|，試敘述g（x）的圖象可由f（x）的圖象經過怎么樣的圖象變化得到．并求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用奇偶函數的定義判斷即可；
（2）作出函數y= (

1

2

)x (x≥0)的圖象，就是f(x)=(

1

2

)|x|y軸右側的圖象，然后利用偶函數的圖象的對稱性作出f(x)=(

1

2

)|x|左側的圖象即可得到f（x）的圖象，再根據圖象可得其單調區間；
（3）利用g（x）與f（x）的函數關系式之間的關系利用圖象的變換可解決問題．

解答：解：（1）∵函數f(x)=(

1

2

)|x|的定義域為R
∴定義域關于原點對稱
又∵f（-(

1

2

)|-x| =(

1

2

)|x|=f（x）
∴f（x）為偶函數
（2）由于f（x）為偶函數故只需作出函數y= (

1

2

)x (x≥0)的圖象，就是f(x)=(

1

2

)|x|y軸右側的圖象再將圖象關于y軸對稱即可得到f（x）的圖象（如右圖）．
由圖可知f（x）的增區間為（-∞，0），減區間為[0．+∞）
（3）∵f(x)=(

1

2

)|x|
∴f(x-2)=(

1

2

)|x-2|=g(x)
∴將f（x）的圖象向右平移2個單位即得g（x）的圖象
又由f（x）的圖象可知函數f（x）的值域為（0，1]而g（x）的圖象可將f（x）的圖象向右平移2個單位得到故g（x）的值域為（0，1]．

點評：本題考查利用函數的性質（奇偶性）作函數f（x）的圖象，然后再利用圖象的變換作g（x）的圖象進而求函數的單調區間和值域．解決的捷徑是數形結合，是中檔題．