Question

【題目】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD．M是AD的中點，N是PC的中點．

（1）求證：MN∥平面PAB；

（2）若平面PMC⊥平面PAD，求證：CM⊥AD；

（3）若平面ABCD是矩形，PA=AB，求證：平面PMC⊥平面PBC．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）取PB的中點E，連接EN，AE，證明MN∥AE，即證MN∥平面PAB；（2）假設CM與AD不垂直，在平面ABCD內過M作AD的垂線，交BC于Q，連接PQ，MQ，證明平面PMQ⊥平面PAD，顯然這與平面PMC⊥平面PAD矛盾．故原題得證；（3）先證明MN⊥平面PBC，即證平面PMC⊥平面PBC．

證明：（1）取PB的中點E，連接EN，AE．

∵E，N分別是PB，PC的中點，∴ENBC，ENBC，

∵M是AD的中點，四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AMBC ,AMBC，

∴ENAM，ENAM，∴四邊形AMNE是平行四邊形，

∴MN∥AE，

又MN平面PAB，AE平面PAB，

∴MN∥平面PAB．

（2）假設CM與AD不垂直，在平面ABCD內過M作AD的垂線，交BC于Q，連接PQ，MQ，

∵PA⊥平面ABCD，MQ平面ABCD，

∴PA⊥MQ，又AD⊥MQ，PA∩AD=A，

∴MQ⊥平面PAD，又MQ平面PMQ，

∴平面PMQ⊥平面PAD，

顯然這與平面PMC⊥平面PAD矛盾．

故假設不成立，∴CM⊥AD．

（3）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，

∵PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PA⊥AD，又PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB，∴AD⊥AE，

由（1）可知四邊形AMNE是平行四邊形，

∴四邊形AMNE是矩形，

∴MN⊥EN，

又AM=MD，PA=AB=CD，∠PAM=∠MDC=90°，

∴△PMA≌△CMD，

∴PM=CM，又N是PC的中點，

∴MN⊥PC，

又PC∩EN=N，PC平面PBC，EN平面PBC，

∴MN⊥平面PBC，又MN平面PMC，

∴平面PMC⊥平面PBC．