Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，平面，是棱上的一點，滿足平面.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）設，，若為棱上一點，使得直線與平面所成角的大小為30°，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由平面，可得，又因為是的中點，即得證；

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，設，計算平面的法向量，由直線與平面所成角的大小為30°，列出等式，即得解.

（Ⅰ）如圖，

連接交于點，連接，

則是平面與平面的交線，

因為平面，

故，

又因為是的中點，

所以是的中點，

故.

（Ⅱ）由條件可知，，所以，故以為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，

設，

則，

設平面的法向量為，

則，即，故取

因為直線與平面所成角的大小為30°

所以，

即，

解得，故此時.