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已知函數數學公式
（1）若函數 在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，求實數a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設函數數學公式，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，求實數m的取值范圍．

解：（1）求導函數f′（x）=ax2+2x-1
∵函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，
∴f′（1）=a+1=4
∴a=3
（2）求導函數f′（x）=ax2+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax2+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可
f′（x）=ax2+2x-1＞0在（2，+∞）上有解，即在（2，+∞）上有解
∵
∴
∴
∴實數a的取值范圍是
（3）函數，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點
當x≥1時，g（x）=，g′（x）=＞0，函數g（x）單調遞增
當x＜1時，g（x）=，g′（x）=-=
令g′（x）＞0，可得＜x，令g′（x）＜0，可得x＜，或x，
∴函數在上單調減，（-，）上單調增，上單調減，（1，2）上單調增
∴當時，g（x）取得極小值．當時，g（x）取得極大值．g（-2）=
∴或時，g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點，方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根
∴實數m的取值范圍為．
分析：（1）求導函數，利用導數的幾何意義，結合函數在x=1處的切線l與直線y=4x+3平行，可實數a的值；
（2）求導函數f′（x）=ax2+2x-1，函數f（x）在（2，+∞）上存在單調遞增區間，只需f′（x）=ax2+2x-1＞0在（2，+∞）上有解即可；
（3）函數，若方程g（x）-m=0在區間[-2，2]上有兩個不相等的實數根，只需要g（x）的圖象y=m有兩個不同的交點．
點評：本題重點考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查利用導數研究函數的圖象，綜合性強．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函數f（x）和g（x）在區間[lg|a+2|，（a+1）2]上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，比較f（1）與
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的大小，寫出理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=log3（ax+b）圖象過點A（2，1）和B（5，2），設an=3f（n），n∈N*．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)≥a
2n+1
對一切n∈N*均成立的最大實數a；
（Ⅲ）對每一個k∈N*，在ak與ak+1之間插入2k-1個2，得到新數列：a1，2，a2，2，2，a3，2，2，2，2，a4，…，記為{bn}，設Tn是數列{bn}的前n項和，試問是否存在正整數m，使Tm=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的圖象在[a，b]上連續不斷曲線，定義：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（t）|t∈D}表示函數f（t）在D上的最小值，max{f（t）|x∈D}表示函數f（t）在D上的最大值．若存在最小正整數k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數f（x）為[a，b]上的“k階收縮函數”．
（1）已知函數f（x）=2sinx（0≤x≤
n
2
），試寫出f1（x），f2（x）的表達式，并判斷f（x）是否為[0，
n
2
]上的“k階收縮函數”，如果是，請求對應的k的值；如果不是，請說明理由；
（2）已知b＞0，函數g（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如果是函數的一個極值，稱點是函數的一個極值點.已知函數

（1）若函數總存在有兩個極值點，求所滿足的關系；

（2）若函數有兩個極值點，且存在，求在不等式表示的區域內時實數的范圍.

（3）若函數恰有一個極值點，且存在，使在不等式表示的區域內，證明：.

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年福建省高三12月月考數學理卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）已知函數 

（1）若函數在區間其中a >0，上存在極值，求實數a的取值范圍；

（2）如果當時，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；

（3）求證.

 

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