Question

已知二次函數y=f₁(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

(Ⅰ) 求函數f (x)的表達式；

(Ⅱ) 證明:當a>3時,關于x的方程f (x)= f (a)有三個實數解.

Answer 1

解：(Ⅰ)由已知,設f₁(x)=ax²,由f₁(1)=1,得a=1, ∴f₁(x)= x².設f₂(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)，B(－,－)

由=8,得k=8,. ∴f₂(x)=.故f(x)=x²+.

(Ⅱ) （證法一）f(x)=f(a),得x²+=a²+,

即=－x²+a²+.在同一坐標系內作出f₂(x)=和

f₃(x)= －x²+a²+的大致圖象,其中f₂(x)的圖象是以坐

標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f₃(x)與的圖象是以(0, a²+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f₂(x)與f₃(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數解.又∵f₂(2)=4, f₃(2)= －4+a²+，當a>3時,. f₃(2)－f₂(2)= a²+－8>0,當a>3時,在第一象限f₃(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f₂(x)圖象的上方.f₂(x)與f₃(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數解.