Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n且對任意正整數n總有S_n=p（a_n-1）（p為常數，且p≠0，p≠1），數列{b_n}滿足
b_n=kn+q（q為常數）
（1）求數列{a_n}的首項a₁及通項公式（用p表示）；
（2）若恰好存在唯一實數p使得a₁=b₁，a₃=b₃，求實數k的取值的集合．

Answer 1

分析：（1）先把n=1直接代入求出數列{a_n}的首項a₁，再利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）找到遞推關系式整理即可求通項公式；
（2）先把已知條件代入整理為(

p

p-1

)3-

p

p-1

=2k，再借助于函數f（x）=x³-xx≠0且x≠1的圖象來求實數k的取值的集合．

解答：
解：（1）由題a₁=s₁=p（a₁-1）?a1=

p

p-1

（p≠0，p≠1），
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=p（a_n-a_n-1）?（p-1）a_n=pa_n-1，
即

an

an-1

=

p

p-1

（常數）．
所以{a_n}是以

p

p-1

為首項，

p

p-1

為公比的等比數列，
所以an=

p

p-1

• (

p

p-1

) n-1= (

p

p-1

)n 

（2）

a1=b1 a3=b3

?

p p-1 =k+q ( p p-1 )3=3k+q

?(

p

p-1

)3=2k+

p

p-1

?(

p

p-1

)3-

p

p-1

=2k，
考慮函數f（x）=x³-xx≠0且x≠1
則f'（x）=3x²-1=3（x+

3

3

）（x-

3

3

）
所以f（x）=x³-xx≠0且x≠1，在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，1），（1，+∞）上為增函數；
在（-

3

3

，

3

3

）上為減函數；
恰好存在唯一實數p使得a₁=b₁，a₃=b₃，
只要方程x³-x=2k恰有一個實數解．
由圖象可知，實數k的取值的集合為（-∞，-

2 3

9

）∪{0}∪（

2 3

9

，+∞）．

點評：本題是對數列的遞推關系式以及數列與函數綜合的考查．本題第二問的關鍵點在與轉化為求函數f（x）=x³-xx≠0且x≠1的取值，借助于其圖象來求對應實數k的取值．