Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點（0，1），過右焦點F且不與x軸重合的動直線L交橢圓于A，C兩點，當動直線L的斜率為2時，坐標原點O到L的距離為

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過F的另一直線交橢圓于B，D兩點，且AC⊥BD，當四邊形ABCD的面積S=

16

9

時，求直線L的方程．

Answer 1

分析：（1）先設F（c，0）表示出直線L的方程，再由點到直線的距離求出c的值，將點（0，1）代入橢圓可求出b的值，最后根據a²=b²+c²得a的值，進而可得到橢圓方程．
（2）先設直線L的方程為y=k（x-1）、點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），然后聯立直線與橢圓方程消去y得到關于x的一元二次方程，進而得到x₁+x₂、x₁x₂的表達式，代入|AC|得到關于k的表達式，再由AC⊥BD表示出直線BD，同理可得到|BD|的表達式，最后根據S=

1

2

|AC||BD|=

16

9

可求出k的值，確定直線L的方程．

解答：解：（Ⅰ）設F（c，0），則直線L的方程為2x-y-2c=0，
∵坐標原點O到L的距離為

2 5

5

，
∴

2c

5

=

2 5

5

，c=1．
∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1經過點（0，1），
∴

1

b2

=1，b=1，由a²=b²+c²得a²=2．
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線L過點F（1，0），設其方程為y=k（x-1）（k≠0），點A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
解

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

得，（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

，
|AC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

•

k2+1

2k2+1

（*）
∵過F的另一直線交橢圓于B，D兩點，且AC⊥BD，k≠0，
∴直線BD的方程為y=-

1

k

（x-1）．
把（*）式中k換成-

1

k

，類比可得|BD|=2

2

•

k2+1

k2+2

，
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AC||BD|=

4(k2+1)2

(k2+2)(2k2+1)

=

16

9

，
解得k=±1，∴直線L的方程為x-y-1=0或x+y-1=0．

點評：本題主要考查橢圓的基本性質和直線與橢圓的綜合題．直線與圓錐曲線的綜合題是高考的重點考查對象，要著重復習．