Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，AB⊥BC，CD⊥BD，如圖1．把△ABD沿BD翻折，使得平面A′BD⊥平面BCD，如圖2．

（Ⅰ）求證：CD⊥A′B；
（Ⅱ）求三棱錐A′-BDC的體積；
（Ⅲ）在線段BC上是否存在點N，使得A′N⊥BD？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

滿分（12分）．
解：（Ⅰ）∵平面A'BD⊥平面BCD，平面A'BD∩平面BCD=BD，CD⊥BD
∴CD⊥平面A'BD，…（2分）
又∵AB?平面A'BD，∴CD⊥A'B． …（4分）
（Ⅱ）如圖（1）在．
∵AD∥BC，∴∠ADB=DBC=30°．
在．
∴．…（6分）
如圖（2），在Rt△A'BD中，過點A'做A'E⊥BD于E，∴A'E⊥平面BCD．
∵，…（7分）
∴．…（8分）
（Ⅲ）在線段BC上存在點N，使得A'N⊥BD，理由如下：
如圖（2）在Rt△A'EB中，，
∴，…（9分）
過點E做EN∥DC交BC于點N，則，
∵CD⊥BD，∴EN⊥BD，…（10分）
又A'E⊥BD，A'E∩EN=E，∴BD⊥平面A'EN，
又A'N?平面A'EN，∴A'N⊥BD．
∴在線段BC上存在點N，使得A'N⊥BD，此時．…（12分）
分析：（Ⅰ）通過已知條件證明CD⊥平面A'BD，然后證明CD⊥A'B．
（Ⅱ）在Rt△ABD中，推出∠ADB=DBC=30°．求出S_△BDC，在Rt△A'BD中，過點A'做A'E⊥BD于E，說明A'E⊥平面BCD．說明是幾何體的高，即可求解．
（Ⅲ）在線段BC上存在點N，使得A'N⊥BD，過點E做EN∥DC交BC于點N，推出EN⊥BD，說明BD⊥平面A'EN，A'N⊥BD．即可證明在線段BC上存在點N，使得A'N⊥BD．
點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系、棱錐體積公式等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力及運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數形結合思想．