Question

【題目】如圖，橢圓的右焦點為，過焦點，斜率為的直線交橢圓于、兩點（異于長軸端點），是直線上的動點．

（1）若直線平分線段，求證：．

（2）若直線的斜率，直線、、的斜率成等差數列，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用點差法可證得結論成立；

（2）令，可得直線的方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，利用直線、、的斜率成等差數列，可得出關于的等式，然后利用函數的基本性質可求得實數的取值范圍.

（1）設、，線段的中點，由題意可得，

上述兩式相減得，可得，

，，則，

因此，；

（2）由，令，則直線的方程為，

由得，恒成立，

由韋達定理得，，

因為直線、、的斜率成等差數列，

所以，，

，

，

，即，

，，

由雙勾函數的單調性可知，函數在區間上單調遞增，

當時，，所以，.

因此，實數的取值范圍是.