Question

（08年江蘇卷）【必做題】．請先閱讀：

在等式（）的兩邊求導，得：，

由求導法則，得，化簡得等式：．

（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式 （，正整數），證明：．

（2）對于正整數，求證：

（i）；  （ii）；  （iii）．

Answer 1

證明：（1）在等式兩邊對求導得

          移項得                 （*）

（2）（i）在（*）式中，令，整理得 

     所以   

（ii）由（1）知

兩邊對求導，得

在上式中，令

              

即 ，

亦即          （1） 

又由（i）知          （2）

由（1）+（2）得

（iii）將等式兩邊在上對積分

    由微積分基本定理，得

    所以