Question

設復數z=

7+i

3+4i

-isinθ，其中i為虛數單位，θ∈R，則|z|的取值范圍是

[1，

5

]

．

Answer 1

分析：先將z化成代數形式，然后利用模的計算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，看作關于sinθ的二次函數進行求解即可．

解答：解：z=

7+i

3+4i

-isinθ=

(7+i)(3-4i)

(3+4i)(3-4i)

-isinθ
=（1-i）-isinθ=1-（sinθ+1）i，
根據復數模的計算公式得出|z|²=1+（sinθ+1）²，
∵θ∈R
∴sinθ∈[-1，1]則|z|²∈[1，5]
∴|z|∈[1，

5

]
故答案為：[1，

5

]

點評：本題考查了復數代數形式的基本運算，復數模的計算，二次函數、三角函數的性質，同時考查了計算能力，屬于基礎題．