Question

（2010•南京三模）對函數f（x）=xsinx，現有下列命題：
①函數f（x）是偶函數；
②函數f（x）的最小正周期是2π；
③點（π，0）是函數f（x）的圖象的一個對稱中心；
④函數f（x）在區間[0，

π

2

]上單調遞增，在區間[-

π

2

，0]上單調遞減．
其中是真命題的是

①④

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

分析：本題中①研究函數的奇偶性，可用偶函數的定義來證明之；②研究的是函數的周期性，利用周期性定義證明之；③研究的是函數的圖象對稱性，可以利用對稱性的性質來證明；④研究函數的單調性，可用兩個函數相乘時單調性的判斷方法進行判斷．

解答：解：對于①，由于f（-x）=-xsin（-x）=xsinx=f（x），故函數f（x）是偶函數①正確；
對于②，由于f（x+2π）=（x+2π）sinx≠f（x），故函數f（x）的最小正周期是2π，②不正確；
對于③，由于f（

π

2

）+f（

3π

2

）=

π

2

-

3π

2

=-π≠0故點（π，0）不是函數f（x）的圖象的一個對稱中心，故③不正確；
對于④，由于f'（x）=sinx+xcosx，在區間[0，

π

2

]上f'（x）＞0，在區間[-

π

2

，0]上f'（x）＜0，由此知函數f（x）在區間[0，

π

2

]上單調遞增，在區間[-

π

2

，0]上單調遞減，故④正確．
故答案為：①④

點評：本題考點是函數的單調性判斷與證明，函數的奇偶性，函數的中心對稱的判斷及函數的周期性，涉及到的性質比較多，且都是定義型，本題知識性較強，做題時要注意準確運用相應的知識準確解題．