Question

過拋物線y²=2ax(a＞0)上一點A（,a）,作兩條傾斜角互補的直線，分別與拋物線相交于另一點B、C，試推斷當a變化時，直線BC的斜率是否為定值.__________

 

Answer 1

解析：

設直線AB的斜率為k(k≠0),點B（x₁,y₁）,C(x₂,y₂)，則直線AB的方程為y-a=k(x-),

聯立y²=2ax,消去x,得

y-a=k(),即ky²-2ay+a²(2-k)=0.

∵y₁和a是方程的兩根，∴ay₁=.

∴y₁=.

據題意，直線AC的斜率為-k，同理可得y₂=.

∴y₁+y₂=-=-2a.

∴k_BC==-1.

故直線BC的斜率為定值-1.