Question

【題目】若函數f(x)＝ax2＋bx－ln x的導函數的零點分別為1和2．

（I） 求a ， b的值；

（Ⅱ）若當時，恒成立， 求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（I）求出函數的導數，由，求出的值即可；（Ⅱ）當時，恒成立，等價于，利用導數研究函數的單調性，根據單調性求出函數的最小值，從而求出的取值范圍即可.

（I） 函數的定義域是，

∵函數的零點分別為1和2，

∴， 得， b = 2，

（Ⅱ）當時，恒成立，當且僅當，

由（I）得，．

．

由f′(x)＝0，得x＝1或x＝2．

①當f′(x)＞0時1＜x＜2；

②當f′(x)＜0時0＜x＜1或x＞2．

當x變化時f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(0，1)	1	(1，2)	2
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	↘		↗		↘

因此，f(x)的區間的最小值是和的較小者，

∵，∴，

∴f（x）的區間的最小值是，

∴實數的取值范圍是.