Question

已知函數g(x)=-(

1

2

)x2的值域為A，定義在A上的函數f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）求集合A，并判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并用單調性定義證明；
（3）解不等式f（3x+1）＜f（5x+1）．

Answer 1

分析：（1）由x²＞0，0＜(

1

2

)x2＜1，可求得函數g(x)=-(

1

2

)x2的值域A，利用奇偶函數的定義即可判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）設-1＜x₁＜x₂＜0，作差后化積f（x₁）-f（x₂）=（x22-x12）（1+

1

x12x22

），判斷積的符號即可；
（3）利用（2）中所證的單調性與其定義域為A可列關于x的不等式組，解之即可．

解答：解：（1）∵x²＞0，
∴0＜(

1

2

)x2＜1，-1＜-(

1

2

)x2＜0，
即A={x|-1＜x＜0}．
∵函數f（x）=x^-2-x²（x∈A），而A={x|-1＜x＜0}，不關于原點對稱，
∴f（x）是非奇非偶函數；
（2）證明：設-1＜x₁＜x₂＜0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

x12

-x12-（

1

x22

-x22）=

x22-x12

x12x22

+（x22-x12）
=（x22-x12）（1+

1

x12x22

）．
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴x12＞x22，

1

x12x22

＞0，
∴（x22-x12）（1+

1

x12x22

）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，0）上是增函數．
（3）∵f（3x+1）＜f（5x+1），
∴

-1＜3x+1＜0 -1＜5x+1＜0 3x+1＜5x+1

解得：x∈∅．

點評：本題考查函數奇偶性與單調性的綜合，著重考查函數奇偶性與單調性的定義及其綜合應用，綜合性強，屬于難題．