Question

已知函數圖象與直線相切，切點橫坐標為.
（1）求函數的表達式和直線的方程；（2）求函數的單調區間；
（3）若不等式對定義域內的任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）單調減區間為，單調增區間為;(3) .

試題分析：（1）求函數導數，利用導數的幾何意義求直線方程斜率，再利用點斜式求出方程．（2）利用導數和分別求函數的單調增減區間．（3）將不等式轉化為恒成立，然后利用導數求函數的最值.
解：（1）因為，所以，所以
所以   2分，所以，所以切點為（1，1），所以
所以直線的方程為          4分
（2）因為的定義域為所以由得 6分
由得        7分
故函數的單調減區間為，單調增區間為    8分
（3）令，則得
所以在上是減函數，在上是增函數       10分
，所以      11分
所以當在的定義域內恒成立時，實數的取值范圍是     12分.