Question

（本題14分）已知函數在處取得極值，且在處的切線的斜率為1。

（Ⅰ）求的值及的單調減區間；

（Ⅱ）設＞0，＞0，，求證：。

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ） 

，∴ ，即，∴

∴  ，又，∴ ，∴

綜上可知   

，定義域為＞0， 

由＜0 得 0＜＜，∴的單調減區間為……………6分

（Ⅱ）先證

即證

即證：

令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即證

令 則

∴

 

① 當＞，即0＜＜1時，＞0，即＞0

在（0，1）上遞增，∴＜＝0，

② 當＜，即＞1時，＜0，即＜0

在（1，＋∞）上遞減，∴＜＝0，

③ 當＝，即＝1時，＝＝0

綜合①②③知即

即

又

∴  

綜上可得    ……………14分

考點：導數，極值，函數與不等式

點評：對于導數在研究函數中的運用，關鍵是利用導數的符號判定單調性，進而得到極值，和最值， 證明不等式。屬于中檔題。