Question

函數f（x）=|2x+1|+|ax|，若存在三個互不相等的實數x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），則實數a=

±2

．

Answer 1

分析：題干錯誤：f（X₃），應該為f（x₃），請給修改，謝謝．
由題意可得顯然a=0不滿足條件，當a＞0時，化簡函數f（x）的解析式，畫出函數的圖象，數形結合可得a的值．
當a＜0時，同理求得a=-2．綜合可得結論．

解答：解：∵函數f（x）=|2x+1|+|ax|，顯然a=0不滿足條件．
當a＞0時，f（x）=

(-2-a)x-1 ， x＜- 1 2 (2-a)x+1 ， - 1 2 ≤x＜0 (2+a)x+1 ， x≥0

，
函數的圖象如圖所示：其中，A（-

1

2

，

a

2

），B（0，1）．

要使存在三個互不相等的實數x₁，x₂，x₃，使得f（x₁）=f（x₂）=f（X₃），必須有

a

2

=1，∴a=2．
當a＜0時，同理求得a=-2，故有a=±2，
故答案為±2．

點評：本題主要考查分段函數的應用，體現了數形結合和等價轉化的數學思想，屬于中檔題．