Question

已知等比數列{a_n}的所有項均為正數，首項a₁＝1，且a₄，3a₃，a₅成等差數列．
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)數列{a_n＋1－λa_n}的前n項和為S_n，若S_n＝2ⁿ－1(n∈N^*)，求實數λ的值．

Answer 1

（1）a_n＝2^n－1.（2）λ＝1

(1)設數列{a_n}的公比為q，則由條件得q³，3q²，q⁴成等差數列，所以6q²＝q³＋q⁴，q≠0，此方程即q²＋q－6＝0，解得q＝－3(舍去)或q＝2，所以數列{a_n}的通項公式是a_n＝2^n－1.
(2)a_n＋1－λa_n＝2ⁿ－λ·2^n－1＝(2－λ)·2^n－1，顯然λ＝2不合題意，λ≠2時，數列{a_n＋1－λa_n}的前n項和為＝(2－λ)·(2ⁿ－1)，與已知比較可得λ＝1.