Question

【題目】如圖，設雙曲線的上焦點為，上頂點為，點為雙曲線虛軸的左端點，已知的離心率為，且的面積.

（1）求雙曲線的方程；

（2）設拋物線的頂點在坐標原點，焦點為，動直線與相切于點，與的準線相交于點，試推斷以線段為直徑的圓是否恒經過軸上的某個定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）以為直徑的圓恒經過軸上的定點.

【解析】試題分析：（1）由離心率得，再由的面積得，解方程組得.（2）先轉化條件為恒等式問題：存在定點滿足題設條件，則對任意點恒成立，再設點，根據條件求出，利用向量數量積得對任意實數恒成立，最后根據恒等式得，解出定點的坐標.

試題解析：解：（1）由已知，即，則，即，得， ，

又，則，得.

從而， ，所以雙曲線的方程為.

（2）由題設，拋物線的方程為，準線方程為，

由，得，設點，則直線的方程為，

即，聯立，得，

假設存在定點滿足題設條件，則對任意點恒成立，

因為， ，則，

即對任意實數恒成立，

所以，即，故以為直徑的圓恒經過軸上的定點.