Question

 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

    已知橢圓的方程為，、和為的三個頂點．

   （1）若點滿足，求點的坐標；

   （2）設直線交橢圓于、兩點，交直線于點．若，證明：為的中點；

   （3）設點在橢圓內且不在軸上，如何構作過中點的直線，使得與橢圓 的兩個交點、滿足？令，，點的坐標是（-8，-1），若橢圓上的點、滿足，求點、的坐標．

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：(1) ；

(2) 由方程組，消y得方程，

因為直線交橢圓于、兩點，

所以D>0，即，

設C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，CD中點坐標為(x₀,y₀)，

則，

由方程組，消y得方程(k₂-k₁)x=p，

又因為，所以，

故E為CD的中點；

(3) 因為點P在橢圓Γ內且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內，可以求得直線OF的斜率k₂，由知F為P₁P₂的中點，根據(2)可得直線l的斜率，從而得直線l的方程．

，直線OF的斜率，直線l的斜率，

解方程組，消y：x²-2x-48=0，解得P₁(-6,-4)、P₂(8,3)．