Question

已知在平面直角坐標系xOy中,向量j=(0,1),△OFP的面積為2,且·=t,=+j.

(1)設4＜t＜4,求向量與的夾角θ的取值范圍;

(2)設以原點O為中心,對稱軸在坐標軸上,以F為右焦點的橢圓經過點M,且||=c,t=(-1)c²,當||取最小值時,求橢圓的方程.

Answer 1

思路解析:此題是向量知識與圓錐曲線結合的一個問題,高考試題常用向量給出條件,運用向量知識進行轉化為圓錐曲線的有關問題是�？嫉乃枷敕椒�.設求向量與的夾角θ的取值范圍由面積公式及·=t,可求出tanθ的范圍.(2)中設出P點的坐標,用c來表示||,求出當c取某值時的||的最小值,進而求橢圓的方程.

解:(1)由2=||·||·sinθ,得?||·||=,

由cosθ=,得tanθ=.

∵4＜t＜4,∴1＜tanθ＜.

∵θ∈［0,π］,∴夾角θ的取值范圍是(,).

(2)設P(x₀,y₀),則=(x₀-c,y₀),=(c,0).

∴·=(x₀-c,y₀)·(c,0)=(x₀-c)c=t=(-1)c².

∴x₀=c.

S_△OFP=||·|y₀|=2,

∴y₀=±.

又由,

得x₀=c.

∴||=.

∴當且僅當c=,即c=2時,?||取最小值2,

此時, =(2,±2),

∴=(2,2)+(0,1)=(2,3)或=(2,-2)+(0,1)=(2,-1).

橢圓長軸2a==8,

∴a=4,b²=12或2a=.

∴a=,b²=.

故所求橢圓方程為=1或=1.