Question

已知函數f（x）=log_mx（mm為常數，0＜m＜1），且數列{f（a_n）}是首項為2，公差為2的等差數列．
（1）若b_n=a_n•f（a_n），當m=時，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）設c_n=a_n•lga_n，如果{c_n}中的每一項恒小于它后面的項，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意得f（a_n）=2+2（n-1）=log_ma_n，可得2n=log_ma_n，…（1分）
∴a_n=m²ⁿ．…（2分）
b_n=a_n•f（a_n）=2n•m²ⁿ．
∵m=，∴b_n=a_n•f（a_n）=2n•（）²ⁿ=n•（）^n-1，…（3分）
∴S_n=1•（）⁰+2•（）¹+3•（）²+…+n•（）^n-1，①
S_n=1•（）¹+2•（）²+3•（）³+…+n•（）ⁿ，②…（4分）
①-②，得S_n=（）⁰+（）¹+（）²+…+（）^n-1-n•（）ⁿ=…（6分）
∴化簡得：S_n=-（n+2）（）^n-1+4 …（7分）
（2）解：由（Ⅰ）知，c_n=a_n•lga_n=2n•m²ⁿlgm，要使c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，
即nlgm＜（n+1）m²lgm對一切n∈N^*成立．…（8分）
∵0＜m＜1，可得lgm＜0
∴原不等式轉化為n＞（n+1）m²，對一切n∈N^*成立，
只需m²＜（）_min即可，…（10分）
∵h（n）=在正整數范圍內是增函數，∴當n=1時，（）_min=．…（12分）
∴m²＜，且0＜m＜1，，∴0＜m＜．…（13分）
綜上所述，存在實數m∈（0，）滿足條件．…（14分）
分析：（1）用等差數列求和公式，結合對數的運算性質可得：a_n=m²ⁿ，從而有b_n=n•（）^n-1，最后用錯位相減法結合等比數列的求和公式，得到數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）由題意，不等式c_n＜c_n+1對一切n∈N^*成立，代入a_n的表達式并化簡可得m²＜（）_min．通過討論單調性可得當n=1時，的最小值是，從而得到m²＜，結合0＜m＜1，得到實數m的取值范圍是（0，）．
點評：本題以對數運算和數列通項與求和運算為載體，求數列的前n項和并求數列單調遞增時參數的取值范圍，著重考查了等差、等比數列的通項公式與求和公式，以及不等式恒成立問題的討論等知識，屬于中檔題．