Question

曲線y=2-

1

2

x²與y=

1

4

x³-2在交點處的切線夾角是

 

．（以弧度數作答）

Answer 1

分析：先求出曲線y=2-

1

2

x²與y=

1

4

x³-2在交點坐標，然后分別求出兩個函數在切點處的導數得到兩切線的斜率，最后利用夾角公式求出兩切線的夾角即可．

解答：解：由

y=2- x2 2 y= x3 4 -2

得x³+2x²-16=0，（x-2）（x²+4x+8）=0，∴x=2．
∴兩曲線只有一個交點．
∵y′=（2-

1

2

x²）′=-x，∴y′|_x=2=-2．
又y′=（

x3

4

-2）′=

3

4

x²，∴當x=2時，y′=3．
∴兩曲線在交點處的切線斜率分別為-2、3，
|

-2-3

1+(-2)×3

|=1．
∴夾角為

π

4

．
故答案為：

π

4

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及夾角公式的運用等基礎題知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．