Question

【題目】已知函數， （）

（Ⅰ）討論的單調性；

（Ⅱ）證明：當時，函數（）有最小值.記的最小值為，求的值域；

（Ⅲ）若存在兩個不同的零點， （），求的取值范圍，并比較與0的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在， 單調遞增; （Ⅱ）; （Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)首先求得函數的定義域，然后結合導函數的解析式可得在， 單調遞增；

(Ⅱ)結合(1)的結論可得.結合新函數的性質有值域為

(Ⅲ)結合導函數的性質，可得實數a的取值范圍為，構造新函數即可證得題中的結論

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為.

，

當且僅當時， ，所以在， 單調遞增，

（Ⅱ）

由（Ⅰ）知， 單調遞增，

對任意， ，

因此，存在唯一，使得.

當時， ， 遞減，當時， ， 遞增.

所以有最小值.

而，所以在上遞增.

所以，即的值域為

（Ⅲ）定義域為，

當時， 在上遞增，舍.

當時， 在上遞增，在上遞減，

， ， ， ，

所以， .

設，

所以在上遞增， ，即

所以，

又，所以， 且在上遞減

所以，即， .

所以