Question

設f（x）=log為奇函數，b為常數．
（1）求b的值；
（2）求f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）的值；
（3）若對于區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=log為奇函數，知+==0，由此能求出b．
（2）由f（x）=，知f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）=，由此能求出結果．
（3）對于區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，等價于當x∈[3，4]時，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，設h（x）=-（）^x=，推導出y=h（x）在[3，4]上單調遞增，由此能求出實數m的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=log為奇函數，b為常數，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴+==0，
∴，解得b=±1．
∵b=1時，=-1，不成立，舍去，∴b=-1．
（2）∵b=-1，∴f（x）=，
∴f（2）+f（3）+…+f（9）+f（10）
=++…++
=
=
=．
（3）∵對于區間[3，4]上的每一個x的值，不等式f（x）＞（）^x+m恒成立，
∴當x∈[3，4]時，f（x）-（）^x=-（）^x恒成立，
設h（x）=-（）^x=，
∵y==在[3，4]上單調遞增，y=（）^x在[3，4]上單調遞減，
∴y=h（x）在[3，4]上單調遞增，
∴只需m＜h（3）==-，
∴m＜-．
故實數m的取值范圍是（-∞，-）．
點評：本題考查滿足條件的實數值的求法，考查對數值的計算，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法，綜合性強，難度大．解題時要注意函數的奇偶性、單調性和構造法的合理運用．